Konstruktionen In Der Hyperbolischen Geometrie

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2015 2016 260 - univie.ac.at

Anwendungen. Dabei werden, neben traditionellen Konstruktionen und Handskizzen, komplexe Software Pakete verwendet, deren effektiver Einsatz ein gutes Verständnis nicht nur der Geometrie sondern auch der verwendeten Technologie erfordert. Insbesondere spielen

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in der hyperbolischen Geometrie untersucht werden. Gestützt auf eine projektive Auf¬ fassung der hyperbolischen Ebene ist dieselbe auf die Euklidische Ebene zur Abbildung gebracht. Dadurch, daß der absolute Kegelschnitt als Kreis angenommen wurde, wird die Allgemeinheit der Sätze und Konstruktionen in keiner Weise beeinträchtigt.

HYPERBOLISCHE GEOMETRIE - WINTERSEMESTER 2013-2014

Möbiustransformation der hyperbolischen Ebene21 4. Längenmaÿe27 Konstruktionen von weiteren 3-Mannigfaltigkeiten114 sondern auch die sphärische Geometrie

Mathematischer Samstag zur Geometrie

der anderen zur Deckung, indem du mehrmals spiegelst. 3. Wie vor mit zwei kongruenten Dreiecken. 4. Wenn du in der euklidischen Ebene nacheinander an zwei Geraden g und h spiegelst, die sich in einem Punkt P schneiden, hast du eine Drehung um P ausgefuhrt. Ist das in der¨ hyperbolischen Ebene auch so? 4

Geometrie f˜ur Lehramt - Mathematisches Institut der

(In dieser Formulierung gilt der Satz auch in der sph˜arischen und hyperbolischen Geo-metrie, ohne da die Winkelsumme 2 ist.) Aufgabe 1.2 (Sehnenpolygone) In der Vorlesung wurde gezeigt, da Gelenkvierecke dann maximalen Fl˜acheninhalt haben, wenn sie Sehnenvierecke eines Kreises sind. Mit der folgenden Behauptung l˜a t sich diese

Geometrisierung 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten und Ricci

Forderung der Irreduzibilit¨at hinzu, weil man nicht-triviale zusammenh¨angende Summen 1 ausschließen muß.Siebesagt,daßjedeeingebettete2-Sph¨areeinen eingebetteten 3-Ball berandet. DiesichinderTHVausdr¨uckende Flexibilit ¨at der hyperbolischen Geometrie lag keinesfalls auf der Hand. Z.B. besagt Mostow-Starrheit, daß geschlos-

Prüfungsordnung: 2010 Studiengang Lehramt an Gymnasien (GymPO

ein Modell der hyperbolischen Geometrie mit den entsprechenden Transformationsgruppen, sphärische Geometrie, Erlanger Programm von Felix Klein, elementare Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Bezug zur außermathematischen Realität (z.B. Dreh-, Regel-, Minimal-flächen, Kartenentwürfe), Lorentz-Geometrie als Grundlage der

Teilcurriculum für das Unterrichtsfach Darstellende Geometrie

vanz der hyperbolischen nichteuklidischen Geometrie, und die Grundzüge ei-ner systematischen Analyse gekrümmter Kurven und Flächen mit Hilfe diffe-rentialgeometrischer Methoden. Modulstruktur VO Nichteuklidische Geometrien, 6 ECTS, 4 SSt (npi) UE Nichteuklidische Geometrien, 6 ECTS, 4 SSt (pi)

(Sommersemester 2015) Geometrische Gruppentheorie Übungsblatt 10

Sei G = hSjRieine Gruppe. Zeigen Sie, dass die beiden Konstruktionen des Präsentationskomple-xes aus der Vorlesung K(S, R) und K G denselben CW-Komplex definieren und dass die universelle Überlagerung K˜ G mit dem Cayleykomplex K0übereinstimmt. Abgabe der Lösungen bis Mittwoch, den 24.06.15, in den Übungen.

Wissenschaftlerinnen- Rundbrief

aus der hyperbolischen Geometrie, aus der Theorie automorpher Formen und aus der symplektischen Geometrie verwendete. Die Fields-Medaille ist neben dem Abel-Preis die höchste Auszeich-nung, die es in der Mathematik für wissenschaftliches Arbeiten gibt. Nur alle vier Jahre werden zwei, höchstens vier, Medaillen dieser Art vergeben.

Handout 2 Starten und Erkunden von Cinderella

4. Geometrie Eines der wichtigsten Merkmale von Cinderella ist, dass es verschiedene Arten von Geometrien unterstützt. Hier können Sie wählen, mit welcher Art der Geometrie Sie arbeiten möchten (die Standardeinstellung ist die euklidische Geometrie, aber Sie können auch mit der hyperbolischen Geometrie oder der elliptischen Geometrie

Elementargeometrie fur Lehrer, 2. Auflage¨

Elementargeometrie fur Lehrer, 2. Auflage¨ MichaelDreher FBMathematikundStatistik,Universit¨atKonstanz MACS,Heriot-WattUniversityEdinburgh 20.07.2014

GRUNDZUGE DER MATHEMATIK - GBV

§ 2 Das Axiomensystem der ebenen metrischen Geometrie 62 § 3 Beweise von Sätzen der ebenen metrischen Geometrie durch Rechnen mit Spiegelungen 70 § 4 Euklidische, hyperbolische und elliptische Geometrie 85 Literaturverzeichnis 94 Kapitel 4: R. LINGBNBERG, A. BAUE, Der synthetische und der analytische Standpunkt in der Geometrie 95

Über die Modelle der hyperbolischen Geometrie

die elliptische und die hyperbolische Geometrie als Modelle der nichteuklidischen Geometrie. Mit der hyperbolischen Geometrie und deren Modellen werden wir uns hier beschäftigen. Das erste Modell, das wir hier behandeln, ist das Grundmodell H+. Die hyperbolische Geo-metrie ist die Geometrie auf dem Einheitshyperboloid 2 1, 0 0 2 2 1 2 x0 − x

Betreute Arbeiten

Sven Rupp, Geometrische Konstruktionen skaliertem Lineal, (2016). Nils Mossakowski, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, (2016). Jelena Potschka, Zornsches Lemma und Anwendungen, (2017). Charlotte Specht, Axiomatik der Geometrie der Ebene, (2018). Philipp Driever, Die Euklidischen Postulate im Halbebenen-Model der hyperbolischen Geometrie, (2020).

Berufsbegleitende Studien im Rahmen des Quereinstiegs in das

(1) Die Studien dauern in der Regel vier Schulhalbjahre und orientieren sich am Ablauf des Berliner Schuljahres. Sie erfolgen berufsbegleitend. (2) Der Kurs findet an zwei Wochentagen im Zeitfenster zwischen 8:00 Uhr und 17:30 Uhr statt. In jedem Kurshalbjahr sind Module zu belegen und mit Leistungsnachweisen erfolgreich abzuschließen.

Elemente der Geometrie Wintersemester 06/07 Ubungsblatt 12¨

In der Poincar´e-Ebene sei ein beliebiges Dreieck ∆z 1z 2z 3 gegeben mit den zugeh¨origen Innenwinkelmaßen ω 1,ω 2,ω 3. Beweisen Sie den hyperbolischen Winkelcosinussatz: cosω 3 = −cosω 1 cosω 2 +sinω 1 sinω 2 coshd(z 1,z 2). Folgern Sie hieraus nochmals das schon bekannte Ergebnis ω 1 +ω 2 +ω 3 < π. Abgabe der L¨osungen bis

Lösungshinweise zu Kapitel 1 - mathematik.tu-dortmund.de

Gerade der hyperbolischen Ebene bestimmt ist. Die beiden folgenden Abbildungen sind mit dem DGS DYNAGEO gezeichnet worden. Das Innere des dicken Kreises ist die hyperbolische Ebene, die aus den Kreisen durch Q1 und Q2, R1 und R2, S1 und S2 die hyperbolischen Geraden ausschneidet.

Nichteuklidische Geometrie - GBV

§ 16. Beziehungen zur euklidischen Geometrie und zur Geometrie auf der imaginären Kugel 82 Kapitel IV. Längen- und Inhaltmessungen mit An­ wendung von Integralen 88 § 17. Rektifikation der Zyklen 88 § 18. Flächeninhaltbestimmungen in der hyperbolischen Ebene 92 § 19. Der Inhalt von Dreiecken 96 § 20. Die Sphären und Kegel 98 § 21.

Skalierbare Themen im Mathematikunterricht

sionen oder in der hyperbolischen Geometrie betrachtet. 2.5 Spieltheorie Kindern scheint der Spieltrieb in die Wiege gelegt. Dies lässt sich trefflich verwenden, um Kinder und Jugendliche auf spielerische Weise an mathe-matische Überlegungen heranzuführen. Schon Primarschulkinder wollen

Zur Konstruktiven Geometrie Euklidischer Ebenen

Obwohl Konstruktionen in der Geometrie seit Euklid eine zentrale Rolle ge- spielt haben, und fiir die Griechen, wie H. G. ZEUTHEN [23] bemerkte, die Exi-

SPIEGELUNGSGRUPPEN, LIEGRUPPEN UND KAZHDAN-LUSZTIG-POLYNOME

(Das letzte Beispiel ist der unendliche Bienenstaat.) Die zweite Klasse besteht aus gewissen Symmetrien der sogenannten hyperbolischen Ebene. Die hyperbolische Ebene ist ein Beispiel fur eine¨ nichteuklidische Geometrie, das von Bolyai und Lobatschewskij in der er-sten H¨alfte des 19. Jahrhunderts entdeckt wurde. In der Schule lernen wir,

Das Vorgeschlagenes Enrichment Programm Handout für Studierende

4. Geometrie Eines der wichtigsten Merkmale von Cinderella ist, dass es verschiedene Arten von Geometrien unterstützt. Hier können Sie wählen, mit welcher Art der Geometrie Sie arbeiten möchten (die Standardeinstellung ist die euklidische Geometrie, aber Sie können auch mit der hyperbolischen Geometrie oder der elliptischen Geometrie

Komplexe Zahlen: Fraktale und Chaos - uni-wuerzburg.de

Geometrische Konstruktionen als Abbildungen der komplexen Ebene (Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw. Kreislinien, Möbiustransformationen) P P0 jP0j= 1 jPj z Mittelpunkt z0 Radius r Vortrags bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen Stereographische Projektion Hyperbolische Geometrie und Kunst Fraktale und

CABRI GEOMETRYº II

ƒ Umfassen fortgeschrittene Konzepte der projektiven und hyperbolischen Geometrie. ƒ Ermöglichen das Einfügen von Anmerkungen und Bemaßungen für Figuren (mit automatischer Aktualisierung) ƒ Verwenden sowohl Kartesische als auch Polarkoordinaten. ƒ Erlauben die Anzeige der Gleichungen von geometrischen Objekten, einschließlich Geraden,

Prof. Dr. Johann Hartl Diese Folien bilden kein Skriptum zur Vor-

Geometrie in der Zeichenebene Einiges wissen wir schon: Lehrsatz des Pythagoras Winkelsumme im Dreieck usw. Zum anderen: Einfache Konstruktionen, z.B. von Dreiecken L osen von Aufgaben Begr undungen f ur Aussagen in der Ele-mentargeometrie Schlieˇlich: Begr undung der Elementar-geometrie durch Axiome Das ist ganz sch on viel f ur eine zweist undi-

Bewertung: Cinderella

eigenständiges, forschendes Arbeiten von der Klasse 7 an , fördert Erkennen größerer geometrischer Zusammenhänge, funktionales Denken und ermöglicht Exkurse in der SII z.B. durch Module der hyperbolischen Geometrie. Ein Kommunikation über Geometrie und Konstruiertes über den Klassenraum hinaus wird durch die einfache Einbettung in

VERZEICHNIS DER WISSENSCHAFTLICHEN ARBEITEN VON EM. PROF

Ein elementarer Beweis der Kreisaxiome in der hyperbolischen Geometrie. Acta Sci. Math. Szeged 22 (1961), 190-195. Konstruktionen in begrenzter hyperbolischen

1904.] 39 NEW PUBLICATIONS. - Project Euclid

Die geometrische Addition der Stübe in der hyperbolischen Geometrie. (Diss.) fundamentalen Konstruktionen der nichteuklidi- analytischen Geometrie der Ebene.

Vergleich der Dreiecksgeometrie in der Euklidischen und

seine eigene Wissbegierde hervorgerufene Inspiration, die mich der Geometrie ein erheb- liches Stuck n¨ ¨aher gebracht hat, und f ¨ur die Hilfsbereitschaft mit der er mich durch das Schreiben der Arbeit begleitet hat.

List of Publications - fu-berlin.de

4. Konstruktionen in der hyperbolischen Geometrie, Math. Nachr. 25 (1963), 151{158. Anhand von 10 klassischen Konstruktionsaufgaben wird gezeigt, daˇ man mit dem parallel verschiebbaren Lineal in der hyperbolischen (reellen) Ebene alle Konstruk-tionsaufgaben l osen kann, f ur die man in der euklidischen Geometrie Zirkel und Lineal ben otigt.

Projektive Konstruktionen in der hyperbolischen Geometrie

Projektive Konstruktioneu in der hyperbolischen Geometrie. Von MARCEL GR0SSMAN~ in Ztirich. In einer fr~iheren Arbeit*) babe ich fiir die nichteuklidische Geo- metrie Konstruktionen entwickelt unter der Voraussetzung, dab ftir den Fall der hyperbolischen Geometrie ein reeller, im Endlichen liegender

Bericht über die 32. Fortbildungstagung in Strobl vom 8.11

Aktuelles aus der Geometrie 4 IBDG Bericht über die 32. Fortbildungstagung in Strobl vom 8.11.2011 bis 10.11.2011 Albin VENUS, Elisabeth WILLAU Nach Strobl gekommen war ich, um etwas Fachliches loszuwerden.

EIN SEITENSTÜCK ZUR MOEBIUS'SCHEN GEOMETRIE DER

Die Geometrie der Zykeln, von der wir reden wollen, entsteht aus der ebenen hyperbolischen Geometrie, wenn man als Raumelement den Pfeil betrachtet, nämlich ein wohlgeordnetes Paar von Punkten auf dem gewöhnlich als Kegel-schnitt aufgefassten Ort der unendlich fernen Punkte. Diese Pfeile sind das

ruhr-uni-bochum.de

REELL-ANALYTISCHE METRIKEN AUF KOMPLEMENTEN VON DIVISOREN IN KOMPAKTEN KOMPLEX-HYPERBOLISCHEN RAUMEN THOMAS PUTTMANN Inhaltsverzeichnis Einleitung 2 1. Komplex-hyperbolische Geo

Prüfungsordnung: 2010 Studiengang Lehramt an Gymnasien (GymPO

Die Sprache der Modulveranstaltungen kann von Deutsch abweichen, näheres wird in der Prüfungsordnung geregelt. Die Liste der Dozenten in den einzelnen Modulbeschreibungen erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und dient lediglich der Orientierung.

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talen Konstruktionen der darstellenden Geometrie im hyper¬ bolischen Räume auszuführen und ihren Zusammenhangmit der hyperbolischen Kreisgeometrie zu zeigen. Bekanntlich liegen die unendlich fernen Punkte des hy¬ perbolischen Raumes auf einer Fläche zweiten Grades, der sog. Fundamentalkugel. Alle Punkte, die innerhalb dieser